Setelah tidak lagi aktif sebagai pemain, kedua orang tua Zverev beralih menjadi pelatih. Sang ibu memiliki peran besar dalam perkembangan teknik permainan Zverev sejak kecil, terutama dalam membentuk pukulan backhand-nya.
Latihan sejak usia dini membuat Zverev berkembang menjadi petenis dengan servis kuat dan kemampuan bertahan dalam reli panjang.
Tantangan besar datang ketika Zverev masih berusia 4 tahun. Ia didiagnosis mengalami diabetes tipe 1. Selama bertahun-tahun, Zverev memilih tak mengumbar kondisinya kepada publik. Sebagai atlet profesional, ia harus mengatur kadar gula darah dan rutin menyuntik insulin di tengah rutinitas latihan serta pertandingan yang sangat menguras fisik.
Zverev bahkan pernah merasa tak nyaman memperlihatkan kondisinya di depan penonton. Saat bertanding, ia terkadang pergi ke kamar mandi untuk menyuntikkan insulin agar tak melakukannya di hadapan orang banyak.
Namun, semuanya berubah pada 2022. Zverev akhirnya terbuka mengenai diabetes yang dialaminya sekaligus mendirikan Alexander Zverev Foundation.
Yayasan tersebut dibuat untuk membantu anak-anak yang hidup dengan diabetes dan menunjukkan bahwa penyakit tersebut tak harus menjadi penghalang untuk mengejar cita-cita.